인공지능(AI)을 이해하기 위한 수학 기초: 미분

미분 기호

y를 미분한다. $y^{\prime }$

y를 x에 대해서 미분한다. $\frac{dy}{dx}$

함수 $f(x)$의 도함수 = 함수 $f(x)$를 미분한다.

함수 $f(x)$를 $x$에 대해서 미분한다. $\frac{d}{dx}f(x)$ 또는 $\frac{d}{dx}f$ 또는 $f^{\prime }(x)$

 

미분계수 : 어느 한 점에서의 미분값

점 a의 미분계수 = $f^{\prime }(a)$ = 점 a에서 접선의 기울기

 

미분법

a,b,n가 상수인 $y=a{x}^n+b$ 의 경우

상수는 미분하면 0이되므로 b는 0이 되어 사라지고,

$$\frac{dy}{dx}=a\cdot n\cdot x^{n-1}$$ 이 된다.

 

기본 법칙

$y=f(x)+g(x)=(f+g)(x)$일 때, $$\frac{dy}{dx}=(f+g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$$

 

$y=f(x)-g(x)=(f-g)(x)$일 때, $$\frac{dy}{dx}=(f-g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$$

 

$y=f(x)g(x)$일 때, $$\frac{dy}{dx}=(fg{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$

 

$y=\frac{f(x)}{g(x)}$일 때, $$\frac{dy}{dx}=(\frac{f}{g}{)}^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$$

 

합성 함수의 미분(연쇄법칙 ; Chain rule)

합성 함수 $f(g(x)=(f\circ g)(x)$를 미분하면 $$\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}$$

$g(x)$를 하나의 변수로 치환하여 계산한 뒤 원래대로 바꾸어 놓는다.

 

편미분 (기호 : $\partial$)

변수가 여러개일 경우 변수 하나에 대해서만 미분하는 것.

다른 변수들은 상수로 생각하여 미분한다.

$f(x,y)=ax+by$ 일 때

$$\frac{\partial f}{\partial x}=a$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=b$$

가 된다.

삼각함수의 도함수

(sin$x$)'  = cos$x$

(cos$x$)'  = -sin$x$

(tan$x$)'  = sec${}^{2}x$

(cot$x$)'  = -csc${}^{2}x$

(sec$x$)'  = sec$x$ tan$x$

(csc$x$)'  = -csc$x$ cot$x$

 

로그함수의 도함수

$$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}lo{g}_{a}e$$

$lne=lo{g}_{e}e=1$이므로

$$(lnx{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

연쇄법칙 적용

$$\frac{d}{dx}lo{g}_{a}f(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}lo{g}_{a}e$$

$$\frac{d}{dx}lnf(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$$

 

지수함수의 도함수

$$(a^{bx}{)}^{\prime }=b{a}^{bx}lna$$

$$(e^{ax}{)}^{\prime }=a{e}^{ax}$$