인공지능(AI)을 이해하기 위한 수학 기초: 미분

미분 기호

y를 미분한다. $ y' $

y를 x에 대해서 미분한다. $ \frac{dy}{dx} $

함수 $f(x)$의 도함수 = 함수 $f(x)$를 미분한다.

함수 $f(x)$를 $x$에 대해서 미분한다. $ \frac{d}{dx}f(x) $ 또는 $ \frac{d}{dx}f $ 또는 $ f'(x) $

 

미분계수 : 어느 한 점에서의 미분값

점 a의 미분계수 = $f'(a)$ = 점 a에서 접선의 기울기

 

미분법

a,b,n가 상수인 $y=ax^n+b$ 의 경우

상수는 미분하면 0이되므로 b는 0이 되어 사라지고,

$$ \frac{dy}{dx} = a \cdot n \cdot x^{n-1} $$ 이 된다.

 

기본 법칙

$ y = f(x)+g(x) = (f+g)(x) $일 때, $$ \frac{dy}{dx} = (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x) $$

 

$ y = f(x)-g(x) = (f-g)(x) $일 때, $$ \frac{dy}{dx} = (f-g)'(x) = f'(x)-g'(x) $$

 

$ y = f(x)g(x) $일 때, $$ \frac{dy}{dx} = (fg)'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) $$

 

$ y = \frac{f(x)}{g(x)} $일 때, $$ \frac{dy}{dx} = (\frac{f}{g})'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $$

 

합성 함수의 미분(연쇄법칙 ; Chain rule)

합성 함수 $f(g(x) = (f \circ g)(x) $를 미분하면 $$ \frac{d}{dx}f(g(x)) = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$$

$ g(x) $를 하나의 변수로 치환하여 계산한 뒤 원래대로 바꾸어 놓는다.

 

편미분 (기호 : $\partial$)

변수가 여러개일 경우 변수 하나에 대해서만 미분하는 것.

다른 변수들은 상수로 생각하여 미분한다.

$ f(x,y) = ax+by $ 일 때

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = a $$

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = b $$

가 된다.

삼각함수의 도함수

(sin$x$)'  = cos$x$

(cos$x$)'  = -sin$x$

(tan$x$)'  = sec$^2x$

(cot$x$)'  = -csc$^2x$

(sec$x$)'  = sec$x$ tan$x$

(csc$x$)'  = -csc$x$ cot$x$

 

로그함수의 도함수

$$ (log_ax)'=\frac{1}{x}log_ae $$

$ lne = log_ee = 1$이므로

$$ (lnx)'=\frac{1}{x} $$

연쇄법칙 적용

$$ \frac{d}{dx}{log_af(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)}log_ae $$

$$ \frac{d}{dx}{lnf(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} $$

 

지수함수의 도함수

$$ (a^{bx})' = ba^{bx}lna $$

$$ (e^{ax})' = ae^{ax} $$