인공지능(AI)을 이해하기 위한 수학 기초 : 행렬, 로그, 지수, 시그마

 

행렬의 표현

행렬의 크기 : m x n

$A = a_{ij}$ , 1=< i =< m , 1=< j =<n

$A = (a_{ij})_{mn}$

$A^t = (a_{ji})_{nm}$

 

행렬 곱

앞 행렬의 열 크기와 뒷 행렬의 행 크기가 같아야 한다.

 

행렬의 형태

영행렬

$ \begin{pmatrix}0&0\\0&0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&0\\ \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\ \end{pmatrix} $...

 

단위행렬

$ I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\ \end{pmatrix} ,\,I_3 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\ \end{pmatrix} $...

 

전치행렬

$ X = \begin{pmatrix}0&1\\2&3\\4&5\\ \end{pmatrix} $일 때,

전치행렬 $ X' = X^t = \begin{pmatrix}0&2&4\\1&3&5\\ \end{pmatrix} $

행렬 곱의 성질

A행렬과 B행렬의 곱

$A_{m*l}B_{l*n} = C_{m*n}$

$ c_{ij} = \sum_{k=1}^l a_{ik}b_{kj} $

 

겹합법칙 성립

(AB)C = A(BC)

 

상부 분배법칙 성립

k는 상수

k(AB) = (kA)B = A(kB)

 

행렬 곱의 전치행렬

$(AB)^t = B^tA^t$

 

로그의 성질

$ a > 0,\, a \neq 1,\, M>0,\, N>0,\, L>0,\, k$가 실수일 때

$$ log_a1 = 0,\, log_aa = 1 $$

$$ log_aMN = log_aM + log_aN $$

$$ log_a\frac{M}{N} = log_aM + log_aN $$

$$ log_aL^k = klog_aL $$

주의

$$ \frac{log_aM}{log_aN} \neq log_aM - log_aN $$

$$ log_a(M+N) \neq log_aM + log_aN $$

 

지수의 성질

$ a > 0,\, b>0$이고, $x,\, y$가 실수일 때

$$ a^xa^y = a^{x+y} $$

$$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} $$

$$(a^x)^y = a^{xy} $$

$$ (ab)^x = a^xb^y $$

 

시그마$ \sum $의 성질

c는 상수

$$ \sum_{k=1}^{n}(a_k \pm b_k) = \sum_{k=1}^{n}a_k \pm \sum_{k=1}^{n}b_k $$

$$ \sum_{k=1}^{n}ca_k = c \sum_{k=1}^{n}a_k $$

$$ \sum_{k=1}^{n}c = n \cdot c $$

주의

$$ \sum_{k=1}^{n}a_k b_k \neq \sum_{k=1}^{n}a_k \sum_{k=1}^{n}b_k $$

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{b_K} \neq \frac{\sum_{k=1}^{n}a_k}{\sum_{k=1}^{n}b_k} $$

$$ \sum_{k=1}^{n}a^2 \neq (\sum_{k=1}^{n}a_k)^2 $$