인공지능(AI)을 이해하기 위한 수학 기초 : 행렬, 로그, 지수, 시그마

 

행렬의 표현

행렬의 크기 : m x n

$A=a_{ij}$ , 1=< i =< m , 1=< j =<n

$A=(a_{ij}{)}_{mn}$

$A^t=(a_{ji}{)}_{nm}$

 

행렬 곱

앞 행렬의 열 크기와 뒷 행렬의 행 크기가 같아야 한다.

 

행렬의 형태

영행렬

$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$...

 

단위행렬

$I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$...

 

전치행렬

$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\\ 4& 5\end{array}\right)$일 때,

전치행렬 $X^{\prime }=X^t=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 4\\ 1& 3& 5\end{array}\right)$

행렬 곱의 성질

A행렬과 B행렬의 곱

$A_{m\ast l}{B}_{l\ast n}=C_{m\ast n}$

$c_{ij}=\sum _{k=1}^l{a}_{ik}{b}_{kj}$

 

겹합법칙 성립

(AB)C = A(BC)

 

상부 분배법칙 성립

k는 상수

k(AB) = (kA)B = A(kB)

 

행렬 곱의 전치행렬

$(AB{)}^t=B^t{A}^t$

 

로그의 성질

$a>0,a\ne 1,M>0,N>0,L>0,k$가 실수일 때

$$lo{g}_{a}1=0,lo{g}_{a}a=1$$

$$lo{g}_{a}MN=lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N$$

$$lo{g}_a\frac{M}{N}=lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N$$

$$lo{g}_a{L}^k=klo{g}_{a}L$$

주의

$$\frac{lo{g}_{a}M}{lo{g}_{a}N}\ne lo{g}_{a}M-lo{g}_{a}N$$

$$lo{g}_a(M+N)\ne lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N$$

 

지수의 성질

$a>0,b>0$이고, $x,y$가 실수일 때

$$a^x{a}^y=a^{x+y}$$

$$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$$

$$(a^x{)}^y=a^{xy}$$

$$(ab{)}^x=a^x{b}^y$$

 

시그마$\sum$의 성질

c는 상수

$$\sum _{k=1}^n(a_k\pm b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k\pm \sum _{k=1}^n{b}_k$$

$$\sum _{k=1}^{n}c{a}_k=c\sum _{k=1}^n{a}_k$$

$$\sum _{k=1}^{n}c=n\cdot c$$

주의

$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\ne \sum _{k=1}^n{a}_k\sum _{k=1}^n{b}_k$$

$$\sum _{k=1}^n\frac{a_k}{b_K}\ne \frac{\sum _{k=1}^n{a}_k}{\sum _{k=1}^n{b}_k}$$

$$\sum _{k=1}^n{a}^2\ne (\sum _{k=1}^n{a}_k{)}^2$$